Франсуа Бауш народився 16 жовтня 1956 року в місті Люксембург. Він відвідував середню школу Lycée de garçons in Esch-sur-Alzette.
Після парламентських виборів 20 жовтня 2013 року Франсуа Бауш вступив до уряду Міністром з питань сталого розвитку та інфраструктури 4 грудня 2013 року коаліційного уряду, сформованого Демократичною партією, Люксембургською партією соціалістичних робітників та Партією зелених.
Після виборів 14 жовтня 2018 року Франсуа Бауш був призначений Міністром оборони, Міністром з питань мобільності та громадських робіт та Міністром внутрішньої безпеки 5 грудня 2018 року коаліційного уряду, сформованого Демократичною партією, Люксембургською партією соціалістичних робітників та Партією зелених.
11 жовтня 2019 року після відставки Фелікса Браза через проблеми зі здоров’ям Франсуа Бауш був призначений Віце-прем'єр-міністром, зберігаючи інші міністерські портфелі.
Член Партії зелених з 1986 року, Франсуа Бауш вперше був обраний до Парламенту в 1989 році як кандидат від Партії зелених в Центральному окрузі. Він був депутатом Парламенту до 1992 року, до того, а потім був переобраний з 1994 по 2013 рік. Серед іншого Франсуа був головою Комітету з нагляду за парламентом Державної служби розвідки з 2009 по 2013 рік. Він також взяв на себе роль голови депутатської групи партії Зелених з 1999 по 2013 рік.
На місцевому рівні Франсуа Бауш спочатку виконував обов'язки муніципального радника міста Люксембургу з 1994 по 2005 рік, потім був першим альдерманом з 2005 по 2013 рік.
До того, як розпочати свою політичну кар’єру, Франсуа Бауш працював на Люксембурзькій національній залізниці (Société nationale des chemins de fer luxembourgeois - CFL).